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Determinação da anuidade de uma série de pagamentos uniformes equivalente a dois investimentos discretos

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O user78886 colocou no MSE a questão Calculating the value of Annuities, que traduzida, tem o seguinte enunciado:

« Em vez de investir \$3000 ao fim de 5 anos e \$4000 ao fim de 10 anos, Steve deseja efectuar regularmente pagamentos mensais que após 10 anos resultem no mesmo montante. Determine o valor de cada pagamento mensal, se os juros forem capitalizados mensalmente a uma taxa anual de juro composto de 4\%»

Tradução da minha resposta:

Do ponto de vista matemático podemos estabelecer uma equivalência entre os investimentos (no final dos 5 e dos 10 anos) e uma série de 120 pagamentos constantes mensais.

Visto que o número de períodos de composição é de m=12 por ano, a taxa de juro (nominal) anual r=4\%=0,04 significa uma taxa de juro mensal i=\frac{r}{m}=\frac{4}{12}\%=\frac{0,04}{12}.

O investimento hipotético de \$3000 ao fim de 5 anos (60 meses) acumularia juros durante 5 anos (60 meses). Por isso, o seu valor futuro seria

F^{\prime }=3000\left( 1+i\right)^{60}=3000\left( 1+0,04/12\right) ^{60}\approx 3663,0.

Adicionando o segundo investimento hipotético F^{\prime \prime }=\$4000 resulta num valor futuro total F=F^{\prime }+F^{\prime \prime }\approx\$7663,0 ao fim de 10 anos. Designemos por A (anuidade) cada um dos pagamentos mensais. O pagamento no final do mês k aumenta para um valor futuro  F_{k}=A(1+i)^{n-k} ao fim de n=120 meses. Somando todas estes F_{k} a progressão geométrica resultante de n pagamentos, cuja razão é c=1+i, deve ser igual a F, em consequência do que se escreveu acima. Aplicando a fórmula da soma de uma progressão deste tipo, obtemos

F=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}F_{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}Ac^{j-1}=A  \dfrac{c^{n}-1}{c-1}=A\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}.

Numéricamente chega-se a

A=F\dfrac{i}{(1+i)^{n}-1}=7663,0\dfrac{\frac{0,04}{12}}{(1+\frac{0,04}{12})^{120}-1}\approx \$52,04.


Filed under: Cálculo financeiro, Matemática, Mathematics Stack Exchange Tagged: Cálculo financeiro, Matemática, MSE

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