O user78886 colocou no MSE a questão Calculating the value of Annuities, que traduzida, tem o seguinte enunciado:
« Em vez de investir ao fim de anos e ao fim de anos, Steve deseja efectuar regularmente pagamentos mensais que após anos resultem no mesmo montante. Determine o valor de cada pagamento mensal, se os juros forem capitalizados mensalmente a uma taxa anual de juro composto de . »
Tradução da minha resposta:
Do ponto de vista matemático podemos estabelecer uma equivalência entre os investimentos (no final dos e dos anos) e uma série de pagamentos constantes mensais.
Visto que o número de períodos de composição é de por ano, a taxa de juro (nominal) anual significa uma taxa de juro mensal .
O investimento hipotético de ao fim de anos ( meses) acumularia juros durante anos ( meses). Por isso, o seu valor futuro seria
Adicionando o segundo investimento hipotético resulta num valor futuro total ao fim de anos. Designemos por (anuidade) cada um dos pagamentos mensais. O pagamento no final do mês aumenta para um valor futuro ao fim de meses. Somando todas estes a progressão geométrica resultante de pagamentos, cuja razão é , deve ser igual a , em consequência do que se escreveu acima. Aplicando a fórmula da soma de uma progressão deste tipo, obtemos
Numéricamente chega-se a
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